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Prelude And Motivation

지금까지 우리는 편미분을 배웠다.

그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다.

그렇기에 우리는 "다중적분" 에 대해 배울 것이다.

일단 기본적인 컨셉은 "일중적분" 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다.

$\displaystyle \int^1_{0} \int_{0}^1 xy ~dxdy$ 를 생각하자, 여기서 $x,y$ 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : $$\displaystyle \int^1_{0} \textstyle \left( \int^1_{0} xy~ dx\right)dy $$

이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, $\displaystyle \int^1_{0} \left[ \frac{1}{2} x^2 y \right] ^{x=1}{x=0}~dy=\int^1{0} \frac{1}{2}y ~dy=\frac{1}{4}$ 이다.

이처럼 간단한 컨셉인 "nested-integral" 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자.

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Remark

적분이란 무엇인가? 우선

$$\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \Delta x_{k}f(x_{k}) $$ (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } max(\Delta{x_{1}},\Delta x_{2} \cdots \Delta x_{n})=0$ 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을 $\int ^b_{a} f(x) dx$ 라 정의한다.

마찬가지로, 이중적분도,

![[Pasted image 20251003174218.png]]

이처럼 정의한다.

이때, $\int$ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 $\iint$ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 부피가 나올까? 당연하다.

note: 그냥 한번하는 적분처럼 연속하면 여러번 적분 가능하다.

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