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우리는 왜 하는가? - 이산세상 / 연속세상

우리가 사는 세상의 대부분은 연속적으로 보인다 그러나 흐르는 물을 생각해보자, 콸콸 흐르는 물은 정말 연속적으로 물이 움직이는 걸까?

이제부터 우리는 “수학의 기본” 이라고 할수있는 증명의 ## 증명의 터미놀로지

우리는 수학도로서 다양한 말들과 buzzword 를 접하게 된다. 이러한 단어들의 뜻부터 시작하자.

  • Theorem (정리) 사실인지 아닌지 보일수 있는 명제 (중요한걸 강조하기 위해서 증명이라 부르고, proposition 도 증명과 같은 말이다)
  • Proof (증명) 증명의 사실임을 보이는 주장
  • Axiom (공리) 사실로 받아들여지는 주장 (너무나 자명하여 증명하기 어렵다)
  • Lemma (보조정리) 증명의 과정에서 보조적으로 쓰이는 사실
  • Corollary (따름정리) 어떠한 명제를 증명함으로써 따라서 증명되는 명제
  • Conjecture (추측) 직관적으로 이러할 것이라고 예상하는 것

증명의 형태 (Form)

많은 형태의 증명은 “if P,then Q” 의 형식을 따른다.

참고!

자주 쓰는 표현 논리 기호
P이면 Q이다 (If P, then Q) P→Q
P는 Q를 함의한다 (P implies Q) P→Q
P는 Q이기 위한 충분조건 P→Q
Q는 P이기 위한 필요조건 P→Q
P 오직 Q일 때만 (P only if Q) P⟺Q

Theorem If n is a non-integer, then ∑k=0n(nk)2=(2nn)

“n is a non-negative integer” ⟹ “∑k=0n(nk)2=(2nn)”

하지만 늘 그렇지는 않다.

Theorem The harmonic series 1+12+13+14+15+⋯ diverges.

이러한 형태도 가능하다.

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post-of-the-week

미방

01-01 - 1차와 2차 미분방정식 Preface \(u,v,w,g,y,p,q ,\psi\) 는 \(t\) 에 대한 함수라는 약속을 하고 시작해 보자. 마찬가지로 \(\frac{du}{dt} = \dot{u}, \frac{d^2u}{dt^2} = \ddot{u} \cdots\) 라고 적어야 하겠지만 여기서는 \(u',u'' \cdots\) 라고 적자. 모든 방정식은 \(y\) 를 \(t\) 에 대해 닫힌 형식으로 기술하는것이 목적이 된다. [!note] 해를 제시할 때 그 해가 성립하는 구간을 잡아야 한다 , \(\frac{1}{t}\) 같은 것이 해라면, “ \(0\) ” 은 우리가 제시하는 구간에 없어야 한다. ( \(t \in (0,1]\) 처럼) [!tip] 최고차항의 계수를 1로 만든 표준형 \(y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)\) 에서, 해가 존재하는 구간 \(I\) 는 \(p(t), q(t), g(t)\) 세 함수가 동시에 연속이면서, 초기값 \(t_0\) 를 포함하는 가장 넓은 구간 이다. 그렇기에 해의 존재 구간은 방정식의 계수들을 표준형으로 나눴을 때, 분모가 0이 되는 점(Singular point)이나 로그의 진수 조건 등을 뚫고 지나갈 수 없다. 반드시 초기값 \(t_0\) 가 속한 연속 구간으로 쪼개서 대답해야 한다. Before We Start… 미분 방정식은 사실 너무 실용적인 과목이라 배워야 할 이유를 설명할 필요가 없다!! 1차 선형 상미분방정식 \(y' + py=g\) 이 꼴을 1차 선형 ODE 라고 한다 note that \(D_{t}(e^{ A }y)=e^A(y'+A')\) \(\therefore e^{ \int p(t) }(y'+p(t)y)=e^{ \int p(t) }(g(t))\) 을 이용한다, 그러므로 \(e^{ \int p(t)}(y)=\int_{dt} g(t...
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