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Before We Start…

(temp)

실수의 정의

N={1,2,3,…}Z={−3,−2,−1,0,1,2,3,…}Q={nm | n,m∈Z,m≠0}

을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다.

이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다.

x2=2 를 만족하는 해 x 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다.

하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!)

note: 여기서 x2=2 를 x2=−1 로 바꾸면 “복소수” 를 정의하는 과정과 같다! 하지만 우리가 복소수를 실수에 비해 괴리를 느끼는 이유는 고작 “우리가 사는 세상에 있는가?” 라는 차이 하나 뿐이다.

우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수는 “최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라고 한다 (?)

우선 순서 집합(Ordered) 에 대해 알아보자.

정의 1.5) 순서 : 어떤 집합 S 에 대하여 < 라는 기호를 이용하여 나타낼수 있는 관계가 있고, 아래의 두 조건을 만족하면 순서가 있다 라고 한다. (x,y,z∈S)
1.  Law of trichotomy (삼분법칙) x<y,x=y,y<x 중 오직 하나만 참이다
2. 추이성 (Transitivity) x<y,y<z  ∴x<z 가 성립한다.

이러한 조건을 만족하는 집합 S 를 순서집합 이라고 한다 (정의 1.6)

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