01-01-백터공간, 부분공간, 선형결합- temp1

01-01-백터공간, 부분공간, 선형결합

before we start

우리가 지금까지 배운 고등학교 수학을 생각해보자,
연속함수 f,g 를 서로 더하거나 빼는 등의 행위를 해도, 늘 연속 함수이다. 마찬가지로, 다항식 P,Q 를 생각해 보자, P+Q,aP,bQ 등은 전부 다항식이다.

마찬가지로 v1→=⟨a1,a2,a3,a4⋯⟩,v2→=⟨b1,b2,b3,b4⋯⟩ 를 생각해 보자, 이 두 벡터도 스칼라곱을 곱하고 덧셈 뺄셈을 해도 결과는 늘 벡터가 나온단 점이 연속함수,다항식과 유사하다는 점이 있다!

그리고 우리는 이렇게 유사하다면 무엇이 하고 싶어지는가? 그렇다! 동일한 대상으로 간주해 하나의 집합으로 묶고 싶어진다!

이러한 발상을 통해 과거의 위대한 거인들은 선형대수학 이라는 학문을 만들었다. 이제는 우리가 그 길을 따라 “벡터의 추상화” 같은 탐구를 해보기로 하자.

벡터공간

[!정의] 백터공간

필드1 F 에 대해서 집합 V 가 두 가지 연산인 덧셈과 곱셈 이 잘 정의되어 있고,(이 연산들은 닫혀 있다) 두 연산이 v,u,w∈V 와 a,b∈F 에 대하여 다음 공리를 만족하면 V 를 F 위의 벡터공간 이라고 정의한다

(VS 1) 덧셈의 교환 법칙 : u+v=u+v
(VS 2) 덧셈의 결합 법칙: (u+v)+w=u+(v+w)
(VS 3) 덧셈의 항등원 :V에 영백터 라고 하는 원소 0→ 이 존재하며,∀v∈V,v+0→=v 이다. (필드 F의 0 과는 다르다!)
(VS 4) 덧셈의 역원 : ∀v∈V,∃(y)∈V s.t. v+(y)=0→

(VS 5) 스칼라 곱셈에 대한 항등원 : 필드 F 의 곱셈의 항등원인 1∈F 에 대하여 1v=v 이다.
(VS 6) 스칼라곱의 결합법칙 : a(bv)=(ab)v

(VS 7) 스칼라덧샘의 분배법칙; (a+b)v=av+bv
(VS 8) 벡터 덧셈의 분배법칙: a(u+v)=au+av

(숫자 0 과 영벡터 0 을 쉽게 구분하기 위해 영벡터를 0→ 으로 표시하기로 하자,)

이 정의를 만족하는 집합을 벡터공간 이라 하고, 그 원소들을 벡터 라고 부르면 우리는 기존의 좌표,화살표 등의 편견에서 벗어나 다양한 대상을 공통된 성질을 가지는 대상으로 묶어낼수 있게 된다.

일단 직관적으로 쉽게 예시를 들수 있고, 이런 예시들을 통해 벡터공간의 정의를 기억하면 된다. (참고: 당연히 벡터공간은 필드일 필요가 없다! 일단 유클리디안 벡터 집합부터가 필드가 아닌 쉬도필드다!)

[!예시] 벡터공간의 예시들

생각보다 많은 수학적 대상들은 벡터공간을 이룸을 알수 있다.
1. n-튜플 공간 (Fn): 필드 F의 원소 n개로 이루어진 순서쌍의 집합.
Fn={(a1,a2,…,an)∣ai∈F}
고등학교 때 배우는 좌표공간의 차원을 확장했다고 생각하자.
2. 유클리디안 벡터: 우리가 물리를 하며 화살표를 이용해 직관적으로 정의한 고전적 벡터(v→) 는 벡터공간을 이룬다
3. 다항식: 모든 다항식을 모은 집합은 위의 정의를 만족한다
4. 미분 방정식의 해 집합: 선형연산자 L 에 대해 L(y)=0 을 만족하는 해 y 들의 집합 Y 를 생각하자, y1,y2∈Y 에 대해, y1+2y2 등등의 선형 결합은 전부 Y의 원소이다.
5. 행렬 (Matrix): 체 F의 원소들을 직사각형 배열로 나타낸 것을 행렬이라 한다. m개의 행(row)과 n개의 열(column)을 가지는 모든 행렬의 집합을 Mm×n(F)로 표기한다. 행렬 A의 i번째 행, j번째 열의 성분을 Aij라 한다. 행과 열의 개수가 같은 행렬을 정방 행렬(square matrix)이라 하고, 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 O로 표기한다.

여기서 행렬 이 가장 중요하다

가로, 세로∼행,렬

note: 우리는 이제부터 공간 이라는 말을 많이 쓰게 될것이다. 수학에서의 공간(Space)이란 어떠한 연산 혹은 구조가 있는 집합을 칭하는 말이다.
(현대 수학에서는 공간이 무엇인지 정확하게 정의하지 않는다고도 한다나…)

이제부터는 따로 정의하지 않는다면, V 를 벡터공간으로 부르자,

[!정리] 벡터 덧셈의 cancellation law

x,y,z∈V 에 대해, x+z=y+z⟹x+y

[!증명]

by (VS 4), ∃v∈V s.t. z+v=0 그러므로 x=x+0→=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0→=y
by (VS 2) and (VS 3)

[!따름정리] 영벡터의 유일성

(VS 3) 에서 언급한 영벡터 0 는 유일하다

[!증명]

우선

[!따름정리] 역원의 유일성

(VS 4) 에서 말한 벡터 y 는 유일하다.

[!증명]

placeholder

[!정리] 벡터의 대수적 성질

  1. x∈V 에 대하여, 0x=0→
  2. 모든 a∈F,x∈V 에 대해 (−a)x=−(ax)=a(−x)
  3. 모든 a∈F 에 대하여 a0→=0→

[!증명]
(a) :

예시와 문제들

부분공간

벡터 공간은 집합 이다. 그러므로 이 집합의 부분집합 도 생각할수 있게 된다. 그렇다면 벡터공간의 부분집합은 늘 벡터공간인가? 라는 질문이 생긴다.

정답은 아니다! 하지만, 그러한 경우들이 많이 있다 정도는 알수있다.

[!정의] 부분공간 (subspace)

필드 F 위의 벡터공간 V 의 부분집합 W 가 V 에 정의된 동일한 스칼라 연산 (합과 곱) 에 대해 F 에서 벡터공간을 이루면 W 를 V의 부분공간 이라고 부른다.

이때 임의의 V 에 대해, {0→}⊂V,V⊂V 는 늘 참이며, 이 두 집합 {0},V 는 자명하게 V 의 부분공간이다. 그리고 {0→} 는 V 의 zero subspace 라고도 부른다.

다행히도, 우리는 위에서 서술한 8가지의 성질을 전부 확인해볼 필요가 없다! V 가 벡터공간이므로(VS 1), (VS 2), (VS 5), (VS 6),(VS 7), (VS 8) 은 W 에서도 자동으로 성립한다.

[!정리] 부분공간 판정법 (ver 1)

해당 4가지의 성질이 성립한다 ⟺ V 의 부분집합 W 는 벡터공간이다. 1. ∀x,y∈W,(x+y)∈W 이다. (W 는 덧셈에 닫혀 있다) 2. 모든 c∈F,x∈W 에 대해 cx∈W 이다. (W 는 스칼라 곱에 닫혀있다) 3. 0→∈W 가 참이다. (W 는 영벡터를 원소로 가진다) 4. ∀x∈W,∃y∈W s.t. x+y=0→ (모든 W 의 원소에 대해 역원이 W 안에 있다)

아래의 정리는 V 의 영벡터 가 W 의 영벡터 와 동일함을 보이며, 이로 인해 위의 4번째 성질은 과조건임을 시사한다.

[!정리] 정리된 부분공간 판정법

해당 3가지의 성질이 성립한다 ⟺ 벡터공간 V 의 부분집합 W 는 부분공간이다.

  1. 0→∈W
  2. 모든 x,y∈W 에 대해 x+y∈W
  3. c∈F,x∈W 에 대해 cx∈W

[!증명]

[!정리]

V 의 임의의 부분공간 W1,W2 에 대해 W1∩W2 는 늘 V 의 부분 공간이다.

[!정의] 전치 행렬 (transpose)

m×n 행렬 A의 행과 열을 맞바꾸어 얻어지는 n×m 행렬을 A의 전치 행렬이라 하고 At 로 표기한다. 즉 성분으로 표기하면 (At)ij=Aji 이다.

[!정의] 대칭 행렬 (Symmetric matrix)

At=A 를 만족하는 행렬 A를 대칭 행렬이라고 부른다. (반드시 스퀘어 행렬이어야 한다.)

(영행렬은 대칭행렬 이다 )

note tr(A)=∑Aii (정사각행렬)

선형결합

[!정의] 선형결합

S⊂V 이고 S≠∅ 이다,벡터 u1,u2,u3⋯un∈S 와 스칼라 a1,a2,a3⋯an∈F 에 대해서
v∈V 가 v=a1u1+a2u2+a3u3⋯anun 라고 한다면 v 는 S 의 벡터들의 선형결합 이다.

또한, 이 경우에는 v 는 u1,u2,u3⋯un 들의 선형결합이고, a1,a2,a3⋯an 들은 선형결합의 계수이다.

우리는 아무 V 에 대해서 0u=0→ 이므로 0→ 는 늘 어떤 집합 S 의 선형결합이다.

[!정의] 스펜

S 를 V 의 넌엠티 서브셋이라 하자, span(S) 는 S 의 모든 선형 결합의 집합을 뜻한다.

편의를 위햐서 span(∅)={0→} 이라고 한다.

[!정리]

임의의 S⊂V 에 대해 span(S) 는 V의 부분 공간이다.
추가로 S 를 부분집합으로 가지는 임의의 V의 부분집합은 span(S) 를 부분집합으로 가진다 (∴span(S)⊂S)

[!정의] 생성

V 의 부분집합 S 는 V 를 생성한다 는 것은 span(S)=V 를 뜻한다

기저와 선형독립

[!정의] 선형독립

필드 F 위의 V 와 이의 부분집합 S 를 생각하자, 이때 v1,v2,v3⋯vn∈S 와 a1,a2,a3⋯∈F 에 대해서 a1v1+a2v2+a3v3⋯anvn=0→ 을 만족하는 해는 c1=c2=c3⋯=cn=0 (자명한 해라고 부른다) 뿐일때, 집합 S 는 선형독립 이라고 한다. 만약 저기서 c1,c2… 가 전부 0 이 아닌 경우가 존제한다면, S 는 선형종속 이라고 한다.

[!정의] 기저

V 의 부분집합 β 는 다음을 만족할때 V 의 기저라고 한다:

  1. β 는 선형 독립이다.
  2. span(β)=V 이다 (β 는 V 를 생성한다.)

우리가 벡터를 표현할때 쓰는 ijk 의 집합인 {i,j,k} 도 R3 의 기저라고 할수 있다.

[!정리] 기저의 존제성

필드 F 위의 임의의 벡터공간 V 는 기저를 가진다.

[!note] 기저의 크기 제한

필드 F 위의 벡터 공간 V 가 n 개의 벡터를 통해 생성된다고 하자, 즉 span({u1,u2,u3…un})=V 이다. 이떄 V 의 선형독립 부분집합 S 는 최대 n 개의 원소를 가지게 된다 (|S|≤n)

[!정리] 기저의 크기 불변성

F 위의 벡터공간 V 의 기저로 B1,B2 가 있다면, |B1|=|B2| 이다.

[!정의] 차원

dim⁡(V)=|V의 기저| 으로 정의한다

참고: V 가 F 위에 있을때 F 를 V 의 기저체라고 한다, 그래서 기저체를 명시하는것이 좋기 때문에 dimF⁡(V) 처럼 명시하기도 한다.

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