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01-01-백터, 부분공간, 선형결합

before we start

우리가 지금까지 배운 고등학교 수학을 생각해보자,
연속함수 f,g 를 서로 더하거나 빼는 등의 행위를 해도, 늘 연속 함수이다. 마찬가지로, 다항식 P,Q 를 생각해 보자, P+Q,aP,bQ 등은 전부 다항식이다.

마찬가지로 v1→=⟨a1,a2,a3,a4⋯⟩,v2→=⟨b1,b2,b3,b4⋯⟩ 를 생각해 보자, 이 두 벡터도 스칼라곱을 곱하고 덧셈 뺄셈을 해도 결과는 늘 벡터가 나온단 점이 연속함수,다항식과 유사하다는 점이 있다!

그리고 우리는 이렇게 유사하다면 무엇이 하고 싶어지는가? 그렇다! 동일한 대상으로 간주해 하나의 집합으로 묶고 싶어진다!

이러한 발상을 통해 과거의 위대한 거인들은 선형대수학 이라는 학문을 만들었다. 이제는 우리가 그 길을 따라 “벡터의 추상화” 같은 탐구를 해보기로 하자.

벡터공간

[!정의] 백터공간

필드1 F 에 대해서 집합 V 가 두 가지 연산인 덧셈과 곱셈 이 잘 정의되어 있고,(이 연산들은 닫혀 있다) 두 연산이 v,u,w∈V 와 a,b∈F 에 대하여 다음 공리를 만족하면 V 를 F 위의 벡터공간 이라고 정의한다

(VS 1) 덧셈의 교환 법칙 : u+v=u+v
(VS 2) 덧셈의 결합 법칙: (u+v)+w=u+(v+w)
(VS 3) 덧셈의 항등원 :V에 영백터 라고 하는 원소 0→ 이 존재하며,∀v∈V,v+0→=v 이다. (필드 F의 0 과는 다르다!)
(VS 4) 덧셈의 역원 : ∀v∈V,∃(y)∈V s.t. v+(y)=0→

(VS 5) 스칼라 곱셈에 대한 항등원 : 필드 F 의 곱셈의 항등원인 1∈F 에 대하여 1v=v 이다.
(VS 6) 스칼라곱의 결합법칙 : a(bv)=(ab)v

(VS 7) 스칼라덧샘의 분배법칙; (a+b)v=av+bv
(VS 8) 벡터 덧셈의 분배법칙: a(u+v)=au+av

(숫자 0 과 영벡터 0 을 쉽게 구분하기 위해 영벡터를 0→ 으로 표시하기로 하자,)

이 정의를 만족하는 집합을 벡터공간 이라 하고, 그 원소들을 벡터 라고 부르면 우리는 기존의 좌표,화살표 등의 편견에서 벗어나 다양한 대상을 공통된 성질을 가지는 대상으로 묶어낼수 있게 된다.

일단 직관적으로 쉽게 예시를 들수 있고, 이런 예시들을 통해 벡터공간의 정의를 기억하면 된다. (참고: 당연히 벡터공간은 필드일 필요가 없다! 일단 유클리디안 벡터 집합부터가 필드가 아닌 쉬도필드다!)

[!예시] 벡터공간의 예시들

생각보다 많은 수학적 대상들은 벡터공간을 이룸을 알수 있다.
1. n-튜플 공간 (Fn): 필드 F의 원소 n개로 이루어진 순서쌍의 집합.
Fn={(a1,a2,…,an)∣ai∈F}
고등학교 때 배우는 좌표공간의 차원을 확장했다고 생각하자.
2. 유클리디안 벡터: 우리가 물리를 하며 화살표를 이용해 직관적으로 정의한 고전적 벡터(v→) 는 벡터공간을 이룬다
3. 다항식: 모든 다항식을 모은 집합은 위의 정의를 만족한다
4. 미분 방정식의 해 집합: 선형연산자 L 에 대해 L(y)=0 을 만족하는 해 y 들의 집합 Y 를 생각하자, y1,y2∈Y 에 대해, y1+2y2 등등의 선형 결합은 전부 Y의 원소이다.

note: 우리는 이제부터 공간 이라는 말을 많이 쓰게 될것이다. 수학에서의 공간(Space)이란 어떠한 연산 혹은 구조가 있는 집합을 칭하는 말이다.
(현대 수학에서는 공간이 무엇인지 정확하게 정의하지 않는다고도 한다나…)

이제부터는 따로 정의하지 않는다면, V 를 벡터공간으로 부르자,

[!정리] 벡터 덧셈의 cancellation law

x,y,z∈V 에 대해, x+z=y+z⟹x+y

[!증명]

by (VS 4), ∃v∈V s.t. z+v=0 그러므로 x=x+0→=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0→=y
by (VS 2) and (VS 3)

[!따름정리] 영벡터의 유일성

(VS 3) 에서 언급한 영벡터 0 는 유일하다

[!증명]

우선

[!따름정리] 역원의 유일성

(VS 4) 에서 말한 벡터 y 는 유일하다.

[!증명]

placeholder

[!정리] 벡터의 대수적 성질

  1. x∈V 에 대하여, 0x=0→
  2. 모든 a∈F,x∈V 에 대해 (−a)x=−(ax)=a(−x)
  3. 모든 a∈F 에 대하여 a0→=0→

[!증명]
(a) :

부분공간

벡터 공간은 집합 이다. 그러므로 이 집합의 부분집합 도 생각할수 있게 된다. 그렇다면 벡터공간의 부분집합은 늘 벡터공간인가? 라는 질문이 생긴다.

정답은 아니다! 하지만, 그러한 경우들이 많이 있다 정도는 알수있다.

[!정의] 부분공간 (subspace)

필드 F 위의 벡터공간 V 의 부분집합 W 가 V 에 정의된 동일한 스칼라 연산 (합과 곱) 에 대해 F 에서 벡터공간을 이루면 W 를 V의 부분공간 이라고 부른다.

이때 임의의 V 에 대해, {0→}⊂V,V⊂V 는 늘 참이며, 이 두 집합 {0},V 는 자명하게 V 의 부분공간이다. 그리고 {0→} 는 V 의 zero subspace 라고도 부른다.

다행히도, 우리는 위에서 서술한 8가지의 성질을 전부 확인해볼 필요가 없다! V 가 벡터공간이므로(VS 1), (VS 2), (VS 5), (VS 6),(VS 7), (VS 8) 은 W 에서도 자동으로 성립한다.

[!정리] 부분공간 판정법

해당 4가지의 성질이 성립한다 ⟺ V 의 부분집합 W 는 벡터공간이다. 1. ∀x,y∈W,(x+y)∈W 이다. (W 는 덧셈에 닫혀 있다) 2. 모든 c∈F,x∈W 에 대해 cx∈W 이다. (W 는 스칼라 곱에 닫혀있다) 3. 0→∈W 가 참이다. (W 는 영벡터를 원소로 가진다) 4. ∀x∈W,∃y∈W s.t. x+y=0→ (모든 W 의 원소에 대해 역원이 W 안에 있다)

으흐흐 귀엽죠

  1. 필드의 정의를 다시 기억해 보자 : Field F 는 두 종류의 오퍼레이션이 정의되어 있는 집합을 뜻한다, 이 두 가지의 오퍼레이션은 각각 “더하기” 와 “곱하기” 라고 부른다, 이때 덧셈과 곱셈에 대해 폐,교,결,항,역 공리 + 분배 법칙 공리를 만족해야 한다.
    i.e. 집합에 덧셈,곱셈이 잘 정의되어 있고 이 두 연산에 닫혀 있다면 이 집합은 필드이다.↩︎

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