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before we start

우리가 지금까지 배운 고등학교 수학을 생각해보자,
연속함수 $f,g$ 를 서로 더하거나 빼는 등의 행위를 해도, 늘 연속 함수이다. 마찬가지로, 다항식 $P,Q$ 를 생각해 보자, $P+Q,aP,bQ$ 등은 전부 다항식이다.

마찬가지로 $\overrightarrow{v_1}=⟨a_1,a_2,a_3,a_4\cdots ⟩,\overrightarrow{v_2}=⟨b_1,b_2,b_3,b_4\cdots ⟩$ 를 생각해 보자, 이 두 벡터도 스칼라곱을 곱하고 덧셈 뺄셈을 해도 결과는 늘 벡터가 나온단 점이 연속함수,다항식과 유사하다는 점이 있다!

그리고 우리는 이렇게 유사하다면 무엇이 하고 싶어지는가? 그렇다! 동일한 대상으로 간주해 하나의 집합으로 묶고 싶어진다!

이러한 발상을 통해 과거의 위대한 거인들은 선형대수학 이라는 학문을 만들었다. 이제는 우리가 그 길을 따라 “벡터의 추상화” 같은 탐구를 해보기로 하자.

벡터공간

[!정의] 백터공간

필드¹ $\mathbb{F}$ 에 대해서 집합 $V$ 가 두 가지 연산인 덧셈과 곱셈 이 잘 정의되어 있고,(이 연산들은 닫혀 있다) 두 연산이 $v,u,w\in V$ 와 $a,b\in \mathbb{F}$ 에 대하여 다음 공리를 만족하면 $V$ 를 $\mathbb{F}$ 위의 벡터공간 이라고 정의한다

(VS 1) 덧셈의 교환 법칙 : $u+v=u+v$
(VS 2) 덧셈의 결합 법칙: $(u+v)+w=u+(v+w)$
(VS 3) 덧셈의 항등원 :$V$에 영백터 라고 하는 원소 $\overrightarrow{0}$ 이 존재하며,$\mathrm{\forall }v\in V,v+\overrightarrow{0}=v$ 이다. (필드 $\mathbb{F}$의 $0$ 과는 다르다!)
(VS 4) 덧셈의 역원 : $\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\exists }(y)\in V\text{s.t.}v+(y)=\overrightarrow{0}$

(VS 5) 스칼라 곱셈에 대한 항등원 : 필드 $\mathbb{F}$ 의 곱셈의 항등원인 $1\in \mathbb{F}$ 에 대하여 $1v=v$ 이다.
(VS 6) 스칼라곱의 결합법칙 : $a(bv)=(ab)v$

(VS 7) 스칼라덧샘의 분배법칙; $(a+b)v=av+bv$
(VS 8) 벡터 덧셈의 분배법칙: $a(u+v)=au+av$

(숫자 $0$ 과 영벡터 $\mathbf{0}$ 을 쉽게 구분하기 위해 영벡터를 $\overrightarrow{0}$ 으로 표시하기로 하자,)

이 정의를 만족하는 집합을 벡터공간 이라 하고, 그 원소들을 벡터 라고 부르면 우리는 기존의 좌표,화살표 등의 편견에서 벗어나 다양한 대상을 공통된 성질을 가지는 대상으로 묶어낼수 있게 된다.

일단 직관적으로 쉽게 예시를 들수 있고, 이런 예시들을 통해 벡터공간의 정의를 기억하면 된다. (참고: 당연히 벡터공간은 필드일 필요가 없다! 일단 유클리디안 벡터 집합부터가 필드가 아닌 쉬도필드다!)

[!예시] 벡터공간의 예시들

생각보다 많은 수학적 대상들은 벡터공간을 이룸을 알수 있다.
1. $n$-튜플 공간 ($F^n$): 필드 $F$의 원소 $n$개로 이루어진 순서쌍의 집합.
$F^n=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid a_i\in F\}$
고등학교 때 배우는 좌표공간의 차원을 확장했다고 생각하자.
2. 유클리디안 벡터: 우리가 물리를 하며 화살표를 이용해 직관적으로 정의한 고전적 벡터($\overrightarrow{v}$) 는 벡터공간을 이룬다
3. 다항식: 모든 다항식을 모은 집합은 위의 정의를 만족한다
4. 미분 방정식의 해 집합: 선형연산자 $L$ 에 대해 $L(y)=0$ 을 만족하는 해 $y$ 들의 집합 $Y$ 를 생각하자, $y_1,y_2\in Y$ 에 대해, $y_1+2y_2$ 등등의 선형 결합은 전부 $Y$의 원소이다.
5. 행렬 (Matrix): 체 $F$의 원소들을 직사각형 배열로 나타낸 것을 행렬이라 한다. $m$개의 행(row)과 $n$개의 열(column)을 가지는 모든 행렬의 집합을 $M_{m\times n}(F)$로 표기한다. 행렬 $A$의 $i$번째 행, $j$번째 열의 성분을 $A_{ij}$라 한다. 행과 열의 개수가 같은 행렬을 정방 행렬(square matrix)이라 하고, 모든 성분이 $0$인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 $O$로 표기한다.

여기서 행렬 이 가장 중요하다

$\text{가로, 세로}\sim \text{행,렬}$

note: 우리는 이제부터 공간 이라는 말을 많이 쓰게 될것이다. 수학에서의 공간(Space)이란 어떠한 연산 혹은 구조가 있는 집합을 칭하는 말이다.
(현대 수학에서는 공간이 무엇인지 정확하게 정의하지 않는다고도 한다나…)

이제부터는 따로 정의하지 않는다면, $V$ 를 벡터공간으로 부르자,

[!정리] 벡터 덧셈의 cancellation law

$x,y,z\in V$ 에 대해, $x+z=y+z⟹x+y$

[!증명]

by (VS 4), $\mathrm{\exists }v\in V\text{ s.t. }z+v=0$ 그러므로 $$\begin{array}{rl}x& =x+\overrightarrow{0}=x+(z+v)=(x+z)+v\\ & =(y+z)+v=y+(z+v)=y+\overrightarrow{0}=y\end{array}$$
by (VS 2) and (VS 3)

[!따름정리] 영벡터의 유일성

(VS 3) 에서 언급한 영벡터 $\mathbf{0}$ 는 유일하다

[!증명]

우선

[!따름정리] 역원의 유일성

(VS 4) 에서 말한 벡터 $y$ 는 유일하다.

[!증명]

placeholder

[!정리] 벡터의 대수적 성질

1. $x\in V$ 에 대하여, $0x=\overrightarrow{0}$
   
2. 모든 $a\in \mathbb{F},x\in V$ 에 대해 $(-a)x=-(ax)=a(-x)$
   
3. 모든 $a\in \mathbb{F}$ 에 대하여 $a\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

[!증명]
(a) :

예시와 문제들

부분공간

벡터 공간은 집합 이다. 그러므로 이 집합의 부분집합 도 생각할수 있게 된다. 그렇다면 벡터공간의 부분집합은 늘 벡터공간인가? 라는 질문이 생긴다.

정답은 아니다! 하지만, 그러한 경우들이 많이 있다 정도는 알수있다.

[!정의] 부분공간 (subspace)

필드 $\mathbb{F}$ 위의 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $W$ 가 $V$ 에 정의된 동일한 스칼라 연산 (합과 곱) 에 대해 $\mathbb{F}$ 에서 벡터공간을 이루면 $W$ 를 $V$의 부분공간 이라고 부른다.

이때 임의의 $V$ 에 대해, $\{\overrightarrow{0}\}\subset V,V\subset V$ 는 늘 참이며, 이 두 집합 $\{0\},V$ 는 자명하게 $V$ 의 부분공간이다. 그리고 $\{\overrightarrow{0}\}$ 는 $V$ 의 zero subspace 라고도 부른다.

다행히도, 우리는 위에서 서술한 8가지의 성질을 전부 확인해볼 필요가 없다! $V$ 가 벡터공간이므로(VS 1), (VS 2), (VS 5), (VS 6),(VS 7), (VS 8) 은 $W$ 에서도 자동으로 성립한다.

[!정리]- 부분공간 판정법 (ver 1)

해당 4가지의 성질이 성립한다 $⟺$ $V$ 의 부분집합 $W$ 는 벡터공간이다. 1. $\mathrm{\forall }x,y\in W,(x+y)\in W$ 이다. ($W$ 는 덧셈에 닫혀 있다) 2. 모든 $c\in \mathbb{F},x\in W$ 에 대해 $cx\in W$ 이다. ($W$ 는 스칼라 곱에 닫혀있다) 3. $\overrightarrow{0}\in W$ 가 참이다. ($W$ 는 영벡터를 원소로 가진다) 4. $\mathrm{\forall }x\in W,\mathrm{\exists }y\in W\text{ s.t. }x+y=\overrightarrow{0}$ (모든 $W$ 의 원소에 대해 역원이 $W$ 안에 있다)

아래의 정리는 $V$ 의 영벡터 가 $W$ 의 영벡터 와 동일함을 보이며, 이로 인해 위의 4번째 성질은 과조건임을 시사한다.

[!정리] 정리된 부분공간 판정법

해당 3가지의 성질이 성립한다 $⟺$ 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $W$ 는 부분공간이다.

1. $\overrightarrow{0}\in W$
   
2. 모든 $x,y\in W$ 에 대해 $x+y\in W$
   
3. $c\in \mathbb{F},x\in W$ 에 대해 $cx\in W$
   

[!증명]

[!정리]

$V$ 의 임의의 부분공간 $W_1,W_2$ 에 대해 $W_1\cap W_2$ 는 늘 $V$ 의 부분 공간이다.

[!정의] 전치 행렬 (transpose)

$m\times n$ 행렬 $A$의 행과 열을 맞바꾸어 얻어지는 $n\times m$ 행렬을 $A$의 전치 행렬이라 하고 $A^t$ 로 표기한다. 즉 성분으로 표기하면 $(A^t{)}_{ij}=A_{ji}$ 이다.

[!정의] 대칭 행렬 (Symmetric matrix)

$A^t=A$ 를 만족하는 행렬 $A$를 대칭 행렬이라고 부른다. (반드시 스퀘어 행렬이어야 한다.)

(영행렬은 대칭행렬 이다 )

note $tr(A)=\sum A_{ii}$ (정사각행렬)

선형결합

[!정의] 선형결합

$S\subset V$ 이고 $S\ne \mathrm{\varnothing }$ 이다,벡터 $u_1,u_2,u_3\cdots u_n\in S$ 와 스칼라 $a_1,a_2,a_3\cdots a_n\in \mathbb{F}$ 에 대해서
$v\in V$ 가 $v=a_1{u}_1+a_2{u}_2+a_3{u}_3\cdots a_n{u}_n$ 라고 한다면 $v$ 는 $S$ 의 벡터들의 선형결합 이다.

또한, 이 경우에는 $v$ 는 $u_1,u_2,u_3\cdots u_n$ 들의 선형결합이고, $a_1,a_2,a_3\cdots a_n$ 들은 선형결합의 계수이다.

우리는 아무 $V$ 에 대해서 $0u=\overrightarrow{0}$ 이므로 $\overrightarrow{0}$ 는 늘 어떤 집합 $S$ 의 선형결합이다.

[!정의] 스펜

$S$ 를 $V$ 의 넌엠티 서브셋이라 하자, $span(S)$ 는 $S$ 의 모든 선형 결합의 집합을 뜻한다.

편의를 위햐서 $span(\mathrm{\varnothing })=\{\overrightarrow{0}\}$ 이라고 한다.

[!정리]

임의의 $S\subset V$ 에 대해 $span(S)$ 는 $V$의 부분 공간이다.
추가로 $S$ 를 부분집합으로 가지는 임의의 $V$의 부분집합은 $span(S)$ 를 부분집합으로 가진다 ($\therefore span(S)\subset S$)

[!정의] 생성

$V$ 의 부분집합 $S$ 는 $V$ 를 생성한다 는 것은 $span(S)=V$ 를 뜻한다

기저와 선형독립

[!정의] 선형독립

필드 $\mathbb{F}$ 위의 $V$ 와 이의 부분집합 $S$ 를 생각하자, 이때 $v_1,v_2,v_3\cdots v_n\in S$ 와 $a_1,a_2,a_3\cdots \in \mathbb{F}$ 에 대해서 $$a_1{v}_1+a_2{v}_2+a_3{v}_3\cdots a_n{v}_n=\overrightarrow{0}$$ 을 만족하는 해는 $c_1=c_2=c_3\cdots =c_n=0$ (자명한 해라고 부른다) 뿐일때, 집합 $S$ 는 선형독립 이라고 한다. 만약 저기서 $c_1,c_2\dots$ 가 전부 $0$ 이 아닌 경우가 존제한다면, $S$ 는 선형종속 이라고 한다.

[!정리] 선형 독립의 전의성

만약 어떤 벡터 집합 $S_1$이 선형 종속이고, $S_1$이 더 큰 집합 $S_2$의 부분집합($S_1\subseteq S_2$)이라면, $S_2$ 역시 반드시 선형 종속입니다.

[!따름정리] 선형독립의 유전성

만약 큰 집합 $S_2$가 선형 독립이라면, 그 안에 들어있는 모든 부분집합 $S_1$ 또한 반드시 선형 독립입니다.

[!정리]

$S$가 선형 독립인 부분집합이고, $v$가 $S$에 속하지 않는 벡터일 때, $S\cup v$가 선형 종속이 될 필요충분조건은 $v\in \text{span}(S)$인 것입니다. >[!증명] > - ($\Rightarrow$ 방향): $S\cup v$가 선형 종속이라면, 계수 중 하나 이상이 0이 아닌 식 $a_{1}v+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n=0$이 존재합니다. 이때 $a_1$은 절대 0일 수 없습니다(만약 $a_1=0$이면 $S$ 자체가 종속이라는 모순이 생김). 따라서 식을 $v$에 대해 정리하면 $v$는 $S$의 벡터들의 선형 결합으로 표현되므로 $v\in \text{span}(S)$입니다.
> - ($\Leftarrow$ 방향): 만약 $v\in \text{span}(S)$라면, 정의에 의해 $v=b_1{v}_1+\cdots +b_m{v}_m$으로 쓸 수 있습니다. 이 식을 이항하면 $b_1{v}_1+\cdots +b_m{v}_m+(-1)v=0$이 됩니다. $v$의 계수인 $-1$은 0이 아니므로, $S\cup v$는 비자명한 0의 표현을 갖게 되어 선형 종속입니다.

[!정의] 기저

$V$ 의 부분집합 $\beta$ 는 다음을 만족할때 $V$ 의 기저라고 한다:

1. $\beta$ 는 선형 독립이다.
2. $span(\beta )=V$ 이다 ($\beta$ 는 $V$ 를 생성한다.)

우리가 벡터를 표현할때 쓰는 $ijk$ 의 집합인 $\{i,j,k\}$ 도 ${\mathbb{R}}^3$ 의 기저라고 할수 있다.

[!정리] 기저의 존제성

필드 $\mathbb{F}$ 위의 임의의 벡터공간 $V$ 는 기저를 가진다.

[!정리] 기저의 크기 제한

필드 $\mathbb{F}$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 $n$ 개의 벡터를 통해 생성된다고 하자, 즉 $span(\{u_1,u_2,u_3\dots u_n\})=V$ 이다. 이떄 $V$ 의 선형독립 부분집합 $S$ 는 최대 $n$ 개의 원소를 가지게 된다 ($|S|\le n$)

[!정리] 기저의 크기 불변성

$\mathbb{F}$ 위의 벡터공간 $V$ 의 기저로 $B_1,B_2$ 가 있다면, $|B_1|=|B_2|$ 이다.

[!정의] 차원

$\dim (V)=|V\text{의 기저}|$ 으로 정의한다

참고: $V$ 가 $\mathbb{F}$ 위에 있을때 $\mathbb{F}$ 를 $V$ 의 기저체라고 한다, 그래서 기저체를 명시하는것이 좋기 때문에 ${\dim }_{\mathbb{F}}(V)$ 처럼 명시하기도 한다.

. 대체 정리 (Theorem 1.10: Replacement Theorem)

대체 정리는 선형대수학에서 가장 강력한 도구 중 하나로, ’선형 독립 집합’과 ’생성 집합’의 크기(벡터의 개수)를 비교하고 조합하는 원리를 설명합니다.

정리 내용 (Theorem 1.10)

벡터 공간 $V$가 정확히 $n$개의 벡터로 이루어진 집합 $G$에 의해 생성(generate)된다고 합시다. 그리고 $V$ 안에 정확히 $m$개의 벡터로 이루어진 선형 독립 집합 $L$이 있다고 합시다.

그러면 다음 두 가지가 성립합니다.

1. 크기 비교: 항상 $m\le n$ 입니다. (즉, 선형 독립 집합의 크기는 생성 집합의 크기를 절대 넘을 수 없습니다.)

2. 대체(Replacement): 생성 집합 $G$ 안에서 적절히 $n-m$개의 벡터를 골라 만든 부분집합 $H$가 존재하여, $L\cup H$ 역시 $V$를 생성하게 됩니다.

직관적 의미 (왜 ’대체’인가?)

• 집합 $G$는 공간을 다 채우는 ’재료’이고, 집합 $L$은 완전히 독립적이고 쓸모 있는 ’핵심 뼈대’입니다.

• 우리는 기존의 재료 $G$에서 $L$의 개수($m$개)만큼을 빼내고, 그 빈자리에 $L$을 통째로 ’대체(replace)’해 넣어도 여전히 공간 $V$를 완벽하게 생성할 수 있다는 뜻입니다.

• 특히 첫 번째 결론인 $m\le n$은 엄청난 의미를 가집니다. “아무리 독립적인 벡터들을 많이 모아도, 공간을 덮어버리는 최소한의 뼈대 개수를 넘을 수는 없다”는 물리적/기하학적 직관을 수학적으로 증명한 것입니다.

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2. 기저의 크기와 차원 (Dimension)

대체 정리의 첫 번째 결론($m\le n$)을 이용하면, 아주 자연스럽게 다음 따름정리가 도출됩니다.

Corollary 1 (기저의 크기 일치)

유한 차원 벡터 공간 $V$가 있다면, $V$의 모든 기저는 반드시 정확히 같은 개수의 벡터를 가집니다.

• 증명 아이디어: $V$에 두 개의 기저 $\beta$와 $\gamma$가 있다고 해봅시다. $\beta$의 개수를 $n$, $\gamma$의 개수를 $m$이라고 합시다.

  • $\beta$를 ’생성 집합’으로 보고, $\gamma$를 ’선형 독립 집합’으로 보면 대체 정리에 의해 $m\le n$입니다.

  • 반대로 $\gamma$를 ’생성 집합’으로 보고, $\beta$를 ’선형 독립 집합’으로 보면 대체 정리에 의해 $n\le m$입니다.

  • 따라서 $m=n$이 될 수밖에 없습니다!

차원 (Dimension)의 정의

이제 모든 기저가 동일한 개수의 벡터를 가진다는 것을 알았으므로, 이 ’고유한 개수’를 공간의 특성으로 삼을 수 있습니다.

• 유한 차원(finite-dimensional): 유한 개의 벡터로 이루어진 기저를 가지는 벡터 공간.

• 차원(Dimension): 그 유한 차원 공간의 기저가 가지는 벡터의 개수를 말하며, $dim(V)$로 표기합니다.

• 예시:

  • $R^3$의 표준 기저는 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$로 3개이므로 $dim(R^3)=3$입니다.

  • $n\times n$ 대각 행렬(Diagonal matrix) 공간의 차원은 $n$입니다.

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3. 차원 $n$을 알 때 얻는 강력한 무기 (Corollary 2)

공간의 차원이 $n$이라는 사실을 알게 되면, 기저인지 아닌지 판별하는 과정이 극적으로 쉬워집니다.

Corollary 2

차원이 $n$인 벡터 공간 $V$에 대하여 다음이 성립합니다.

• 1. 어떠한 생성 집합이라도 최소한 $n$개의 벡터를 가져야 하며, 만약 정확히 $n$개의 벡터로 이루어진 생성 집합이 있다면 그것은 무조건 기저입니다. (즉, 선형 독립인지 굳이 확인할 필요가 없습니다.)
• 2. 어떠한 선형 독립 집합이라도 최대 $n$개의 벡터까지만 가질 수 있으며, 만약 정확히 $n$개의 벡터로 이루어진 선형 독립 집합이 있다면 그것은 무조건 기저입니다. (즉, 공간을 생성하는지 굳이 확인할 필요가 없습니다.)
• 3. 임의의 선형 독립 집합은 적절한 벡터들을 더 추가(extend)하여 기저로 만들 수 있습니다.

직관적 의미: 3차원 공간($n=3$)에서는 서로 다른 3개의 선형 독립인 벡터만 찾으면, 더 이상 따질 것도 없이 그것이 공간 전체를 만든다는 뜻입니다.

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4. 부분공간의 차원 (Theorem 1.11)

전체 공간의 차원과 그 안에 들어있는 부분공간(Subspace)의 차원은 어떤 관계가 있을까요?

Theorem 1.11

유한 차원 벡터 공간 $V$의 부분공간을 $W$라고 합시다. 그러면 $W$ 역시 유한 차원이며, $dim(W)\le dim(V)$가 성립합니다.

더 나아가, 만약 $dim(W)=dim(V)$라면, $W=V$ 즉 두 공간은 완전히 똑같은 공간입니다.

• 직관적 의미: 큰 상자($V$) 안에 작은 상자($W$)를 넣었을 때, 작은 상자의 차원(뼈대 개수)이 큰 상자를 넘을 수는 없습니다. 만약 작은 상자와 큰 상자의 차원이 똑같이 3차원이라면, 사실상 그 둘은 동일한 상자라는 뜻입니다.

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여기까지 1.6절의 모든 핵심 정리를 살펴보았습니다. 대체 정리라는 하나의 튼튼한 뿌리에서 시작하여 차원이 정의되고, 부분공간의 크기까지 깔끔하게 정리되는 구조를 확인하실 수 있습니다.

혹시 다음 섹션인 1.7 Maximal Linearly Independent Subsets 내용이나, 1장의 연습문제 풀이로 계속 넘어갈까요? 원하시는 방향을 말씀해 주세요!

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& |0\\ 2& -1& -1& |0\\ 0& 3& 2& |0\\ 0& 1& 1& |0\end{array}\right)$

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1. 필드의 정의를 다시 기억해 보자 : Field $\mathbb{F}$ 는 두 종류의 오퍼레이션이 정의되어 있는 집합을 뜻한다, 이 두 가지의 오퍼레이션은 각각 “더하기” 와 “곱하기” 라고 부른다, 이때 덧셈과 곱셈에 대해 폐,교,결,항,역 공리 + 분배 법칙 공리를 만족해야 한다.
   i.e. 집합에 덧셈,곱셈이 잘 정의되어 있고 이 두 연산에 닫혀 있다면 이 집합은 필드이다.↩︎