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01-01-백터, 부분공간, 선형결합

before we start

우리가 지금까지 배운 고등학교 수학을 생각해보자,
연속함수 f,g 를 서로 더하거나 빼는 등의 행위를 해도, 늘 연속 함수이다. 마찬가지로, 다항식 P,Q 를 생각해 보자, P+Q,aP,bQ 등은 전부 다항식이다.

마찬가지로 v1→=⟨a1,a2,a3,a4⋯⟩,v2→=⟨b1,b2,b3,b4⋯⟩ 를 생각해 보자, 이 두 벡터도 스칼라곱을 곱하고 덧셈 뺄셈을 해도 결과는 늘 벡터가 나온단 점이 연속함수,다항식과 유사하다는 점이 있다!

그리고 우리는 이렇게 유사하다면 무엇이 하고 싶어지는가? 그렇다! 동일한 대상으로 간주해 하나의 집합으로 묶고 싶어진다!

이러한 발상을 통해 과거의 위대한 거인들은 선형대수학 이라는 학문을 만들었다. 이제는 우리가 그 길을 따라 “벡터의 추상화” 같은 탐구를 해보기로 하자.

벡터공간

[!정의] 백터공간

필드1 F 에 대해서 집합 V 가 두 가지 연산인 덧셈과 곱셈 이 잘 정의되어 있고, 두연산이 v,u,w∈V 와 a,b∈F 에 대하여 다음 공리를 만족하면 V 를 F 위의 벡터공간 이라고 정의한다
(VS 1) 덧셈의 교환 법칙 : u+v=u+v
(VS 2) 덧셈의 결합 법칙: (u+v)+w=u+(v+w)
(VS 3) 덧셈의 항등원 :V에 영백터 라고 하는 원소 0 (영벡터) 이 존재하며,(필드 F의 0 과는 다르다!) ∀v∈V,v+0=v 이다.
(VS 4) 덧셈의 역원 : ∀v∈V,∃(−v)∈V s.t. v+(−v)
(VS 5) 스칼라곱의 결합법칙 : a(bv)=(ab)v
(VS 6) 스칼라덧샘의 분배법칙; (a+b)v=av+bv
(VS 7.)벡터 덧셈의 분배법칙: a(u+v)=au+av
(VS 8) 스칼라 곱샘에 대한 항등원 : 필드 F 의 곱셈의 항등원인 1∈F 에 대하여 1v=v 이다.

이 정의를 만족하는 집합을 벡터공간 이라 하고, 그 원소들을 벡터 라고 부르면 우리는 기존의 좌표,화살표 등의 편견에서 벗어나 다양한 대상을 공통된 성질을 가지는 대상으로 묶어낼수 있게 된다.

일단 직관적으로 쉽게 예시를 들수 있고, 이런 예시들을 통해 벡터공간의 정의를 기억하면 된다. (참고: 당연히 벡터공간은 필드일 필요가 없다! 일단 유클리디안 벡터 집합부터가 필드가 아닌 쉬도필드다!)

[!예시] 벡터공간의 예시들

생각보다 많은 수학적 대상들은 벡터공간을 이룸을 알수 있다.
1. n-튜플 공간 (Fn): 필드 F의 원소 n개로 이루어진 순서쌍의 집합.
Fn={(a1,a2,…,an)∣ai∈F}
고등학교 때 배우는 좌표공간의 차원을 확장했다고 생각하자.
2. 유클리디안 벡터: 우리가 물리를 하며 화살표를 이용해 직관적으로 정의한 고전적 벡터(v→) 는 벡터공간을 이룬다
3. 다항식: 모든 다항식을 모은 집합은 위의 정의를 만족한다
4. 미분 방정식의 해 집합: 선형연산자 L 에 대해 L(y)=0 을 만족하는 해 y 들의 집합 Y 를 생각하자, y1,y2∈Y 에 대해, y1+2y2 등등의 선형 결합은 전부 Y의 원소이다.

note: 우리는 이제부터 공간 이라는 말을 많이 쓰게 될것이다. 수학에서의 공간(Space)이란 어떠한 연산 혹은 구조가 있는 집합을 칭하는 말이다.
(현대 수학에서는 공간이 무엇인지 정확하게 정의하지 않는다고도 한다나…)

이제부터는 따로 정의하지 않는다면, V 를 벡터공간으로 부르자,

[!정리] 벡터 덧셈의 cancellation law

x,y,z∈V 에 대해, x+z=y+z⟹x+y

[!증명] ㄴㅁㅇㄴㅁ

by (VS 4), ∃v∈V s.t. z+v=0 그러므로 x=x+0=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0=y
by (VS 2) and (VS 3)

[!따름정리] 영벡터의 유일성`

(VS 3) 에서 언급한 영벡터 0 는 유일하다

[!증명] ㄴㅁㅇㄴㅁㅇㄴㅁㅇ

placeholder

[!증명]

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프리드버그 선형대수학의 1장(Vector Spaces)에서 벡터공간의 정의(1.2절) 이후에 핵심적으로 이어지는 내용들은 부분공간, 선형결합, 선형독립, 기저와 차원으로 전개됩니다.

이후의 주요 개념들을 흐름에 따라 정리해 드립니다.

프리드버그(Friedberg) 선형대수학의 섹션 1.2 ‘벡터공간(Vector Spaces)’은 선형대수학이라는 과목이 다루는 가장 근본적인 무대를 엄밀하게 세우고, 이 무대 위에서 앞으로 다루게 될 다양한 수학적 대상(다항식, 함수, 행렬 등)이 어떻게 ’벡터’로서 통합될 수 있는지를 보여주는 매우 중요한 단원입니다.

섹션 1.2의 핵심 내용을 정의, 대표적인 예시, 그리고 기본 정리의 세 부분으로 나누어 자세히 정리해 드립니다.

1. 벡터공간의 엄밀한 정의

체(Field) F 위의 벡터공간 V는 집합 V에 두 가지 연산, 즉 덧셈(Addition)과 스칼라 곱(Scalar Multiplication)이 정의되어 있고, 이 연산들이 닫혀 있으며 다음 8가지 공리를 만족하는 대수적 구조를 말합니다.

  • 연산의 닫힘성 (기본 전제)

    • V의 임의의 원소 x,y에 대해 x+y∈V 이다.

    • F의 임의의 원소 a와 V의 원소 x에 대해 ax∈V 이다.

  • 덧셈에 관한 공리 (아벨 군의 조건)

    • (VS 1) 교환법칙: x+y=y+x

    • (VS 2) 결합법칙: (x+y)+z=x+(y+z)

    • (VS 3) 항등원 존재: V 안에 영벡터 0이 존재하여, 모든 x∈V에 대해 x+0=x를 만족한다.

    • (VS 4) 역원 존재: 각 x∈V에 대해 x+y=0을 만족하는 y∈V가 존재한다. (이 y를 −x로 표기)

  • 스칼라 곱에 관한 공리

    • (VS 5) 스칼라 항등원: 체 F의 곱셈 항등원 1에 대해, 1x=x이다.

    • (VS 6) 스칼라 결합법칙: (ab)x=a(bx)

    • (VS 7) 분배법칙 1: a(x+y)=ax+ay (스칼라가 벡터 덧셈에 분배됨)

    • (VS 8) 분배법칙 2: (a+b)x=ax+bx (벡터가 스칼라 덧셈에 분배됨)

💡 수학적 의의: 벡터공간의 원소들을 우리는 ‘벡터(Vector)’라고 부릅니다. 이 정의에 따르면, 벡터는 기하학적인 화살표나 좌표의 모음일 필요가 없습니다. 위 8가지 규칙만 만족하면 무엇이든 선형대수학에서는 ’벡터’로 취급할 수 있습니다.

2. 매우 중요한 벡터공간의 예시들

프리드버그 1.2절은 추상적인 정의를 제시한 후, 앞으로 책 전체에서 끊임없이 등장할 5가지 핵심 벡터공간의 예시를 보여줍니다.

  1. n-튜플 공간 (Fn)

    • 체 F의 원소 n개로 이루어진 순서쌍들의 집합입니다.

    • Fn={(a1,a2,…,an)∣ai∈F}

    • 성분별 덧셈과 스칼라 곱으로 정의되며, 고등학교 때 배우는 좌표공간(R2,R3)의 일반화입니다.

  2. 행렬 공간 (Mm×n(F))

    • F의 원소들을 성분으로 가지는 m×n 행렬들의 집합입니다.

    • 행렬의 덧셈과 스칼라 곱 역시 성분별로 이루어집니다.

  3. 함수 공간 (F(S,F))

    • 공집합이 아닌 임의의 집합 S에서 체 F로 가는 모든 함수들의 집합입니다.

    • 연산 정의: (f+g)(s)=f(s)+g(s), (cf)(s)=c⋅f(s)

    • 함수끼리 더하고, 함수에 상수를 곱하는 일상적인 연산이 벡터공간의 공리를 완벽히 만족합니다. (즉, 함수도 벡터입니다.)

  4. 다항식 공간 (P(F))

    • 체 F를 계수로 가지는 모든 다항식들의 집합입니다.

    • 동류항끼리 더하고, 다항식 전체에 상수를 곱하는 방식으로 연산합니다.

  5. 수열 공간 (Sequence Space)

    • F의 원소들로 이루어진 무한 수열들의 집합입니다. 이는 사실상 S가 자연수 집합인 함수 공간 F(N,F)와 같습니다.

3. 기본 정리 (Basic Theorems)

섹션 1.2의 마지막은 직관적으로 당연해 보이는 성질들이, 오직 8개의 공리만을 통해 어떻게 연역적으로 증명되는지를 보여주는 정리들로 구성되어 있습니다.

  • 정리 1.1: 덧셈에 대한 소거법칙 (Cancellation Law)

    • V의 벡터 x,y,z에 대하여, x+z=y+z 이면 x=y 이다.

    • (증명 아이디어: 양변에 z의 역원인 −z를 더하고, 결합법칙과 항등원/역원 공리를 적용하여 도출합니다.)

  • 정리 1.2: 영벡터와 역원의 기본 성질

    • 모든 x∈V와 a∈F에 대하여 다음이 성립합니다.

    • (a) 0x=0 (스칼라 0과 벡터 x를 곱하면 영벡터가 된다.)

    • (b) a0=0 (스칼라 a와 영벡터를 곱하면 영벡터가 된다.)

    • (c) (−a)x=−(ax)=a(−x) (스칼라에 음수를 취해 곱하나, 벡터의 방향을 뒤집어 곱하나, 곱한 결과의 역원을 구하나 모두 동일하다.)

이 섹션을 통해 독자들은 “화살표”라는 기하학적 직관에서 벗어나, 덧셈과 스칼라 곱이라는 ‘구조’를 가진 모든 대상을 선형대수의 도구로 분석할 수 있다는 시야를 얻게 됩니다.

  1. 필드의 정의를 다시 기억해 보자 : Field F 는 두 종류의 오퍼레이션이 정의되어 있는 집합을 뜻한다, 이 두 가지의 오퍼레이션은 각각 “더하기” 와 “곱하기” 라고 부른다, 이때 덧셈과 곱셈에 대해 폐,교,결,항,역 공리 + 분배 법칙 공리를 만족해야 한다.
    i.e. 집합에 덧셈,곱셈이 잘 정의되어 있고 이 두 연산에 닫혀 있다면 이 집합은 필드이다.↩︎

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